Question

19．PM2.5是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo)，為了了解某市空氣質(zhì)量情況，從去年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取40天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示．現(xiàn)將PM2.5的值劃分為如下等級(jí)

PM2.5	[0，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250]
等級(jí)	一級(jí)	二級(jí)	三級(jí)	四級(jí)

用頻率估計(jì)概率．
（1）估計(jì)該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的天數(shù)；
（2）在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數(shù)據(jù)，再從這8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，求一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣都有的概率；
（3）如果該市對(duì)環(huán)境進(jìn)行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每天PM2.5值X近似滿足X～N（115，75²），則治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少？

Answer 1

分析 （1）該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的概率為0.125+0.125=0.25，即可估計(jì)該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的天數(shù)；
（2）按照分層抽樣的方法從一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)的PM2.5值的數(shù)據(jù)的比值為：50：75：50：25=2：3：2：1，
，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論；
（3）求出該市維持現(xiàn)狀不變，該市PM2.5值，治理后的PM2.5值的均值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級(jí)天氣的概率為0.125+0.125=0.25，天數(shù)為90天；
（2）按照分層抽樣的方法從一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)的PM2.5值的數(shù)據(jù)的比值為：50：75：50：25=2：3：2：1，
從這8個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個(gè)，共有${C}_{8}^{5}$=56種，一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣都有，有3種情況，一級(jí)天氣2個(gè)，其余1個(gè)；二級(jí)天氣2個(gè)，其余1個(gè)；三級(jí)天氣2個(gè)，其余1個(gè)；
共有C₂²C₃²C₂¹C₁¹+C₂¹C₃²C₂¹C₁¹+C₂²C₃³C₂¹C₁¹=24種，故概率為$\frac{24}{56}$=$\frac{3}{7}$；
（3）如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市PM2.5值約為E（Y）=25×0.125+75×0.125+125×0.375+175×0.25+225×0.125=131.25，治理后的PM2.5值的均值E（X）=115，
∴治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．