Question

已知函數(shù)f(x)=

1

4x+2

（x∈R）．
（1）已知點(1，

1

6

)在f（x）的圖象上，判斷其關于點(

1

2

，

1

4

)對稱的點是否仍在f（x）的圖象上；
（2）求證：函數(shù)f（x）的圖象關于點(

1

2

，

1

4

)對稱；
（3）若數(shù)列{a_n}的通項公式為an=f(

n

m

)（m∈N^*，n=1，2，…，m），求數(shù)列{a_n}的前m項和S_m．

Answer 1

分析：（1）由(1，

1

6

)關于點(

1

2

，

1

4

)的對稱點為(0，

1

3

)，滿足函數(shù)解析式，所以(1，

1

6

)關于點(

1

2

，

1

4

)的對稱點仍在該函數(shù)的圖象上．
（2）設點P₀（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，其關于點(

1

2

，

1

4

)的對稱點為P（x，y）．由

x+x0 2 = 1 2 y+y0 2 = 1 4

得點P的坐標為P(1-x0，

1

2

-y0)．由點P₀（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）的圖象上，得y0=

1

4x0+2

．由此能夠推導出函數(shù)f（x）的圖象關于點(

1

2

，

1

4

)對稱．
（3）由f(x)+f(1-x)=

1

2

，知f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m，得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m，由此能求出數(shù)列{a_n}的前m項和S_m．

解答：解：（1）顯然(1，

1

6

)關于點(

1

2

，

1

4

)
的對稱點為(0，

1

3

)，滿足函數(shù)解析式，
所以(1，

1

6

)關于點(

1

2

，

1

4

)的對稱點仍在該函數(shù)的圖象上．（3分）
（2）設點P₀（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，
其關于點(

1

2

，

1

4

)的對稱點為P（x，y）．
由

x+x0 2 = 1 2 y+y0 2 = 1 4

得

x=1-x0 y= 1 2 -y0.

所以，點P的坐標為P(1-x0，

1

2

-y0)．（6分）
由點P₀（x₀，y₀）在函數(shù)f（x）的圖象上，
得y0=

1

4x0+2

．
∵f(1-x0)=

1

41-x0+2

=

4x0

4+2•4x0

=

4x0

2(4x0+2)

，

1

2

-y0=

1

2

-

1

4x0+2

=

4x0

2(4x0+2)

，
∴點P(1-x0，

1

2

-y0)在函數(shù)f（x）的圖象上．
∴函數(shù)f（x）的圖象關于點(

1

2

，

1

4

)對稱．（9分）
（3）由（2）可知，f(x)+f(1-x)=

1

2

，
所以f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，
即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

，∴ak+am-k=

1

2

，（12分）
由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m，②
由①+②，得2Sm=(m-1)×

1

2

+2am=

m-1

2

+2×

1

6

=

m

2

-

1

6

，
∴Sm=

1

12

(3m-1)．（16分）

點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，解題時要注意公式的合理運用．