Question

一個(gè)盒子裝有大小相同的小球n個(gè)，在小球上分別標(biāo)有1，2，3，…，n的號(hào)碼，已知從盒子中隨機(jī)的取出兩個(gè)球，兩球的號(hào)碼最大值為n的概率為

1

4

．
（Ⅰ）盒子中裝有幾個(gè)小球？
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出4個(gè)球，記記所取4個(gè)球的號(hào)碼中，連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)最大值為隨機(jī)變量ξ（如取2468時(shí)，ξ=1，取1246時(shí)，ξ=2，取1235時(shí)，ξ=3）．
①求P（ξ=3）的值；
②求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得

C 1 n-1

C 2 n

=

1

4

，由此能求出n的值．
（Ⅱ）①利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出P（ξ=3）．
②由題意知ξ=1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵兩球的號(hào)碼最大值為n的概率為

1

4

，
∴

C 1 n-1

C 2 n

=

1

4

，解得n=8．
（Ⅱ）①P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 4 + C 1 4 C 1 3

C 4 8

=

2

7

．
②由題意知ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

5

C 4 8

=

1

14

，
P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 4 + C 1 4 C 1 3

C 4 8

=

2

7

．
P（ξ=4）=

5

C 4 8

=

1

14

，
P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=

4

7

，
∴其分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 14	4 7	2 7	1 14

∴Eξ=1×

1

14

+2×

4

7

+3×

2

7

+4×

1

14

=

33

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．