Question

7．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，則k的值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{16}{3}$
• C． 3或$\frac{16}{3}$
• D． $\frac{19}{25}$或21

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依據(jù)橢圓焦點的不同位置分2種情況討論：①、當k＜4時，其焦點在x軸上，②、當k＞4時，其焦點在y軸上，每種情況下求出a、b、c的值，表示出離心率，進而結合題意可得關于k的方程，解可得k的值，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1，分2種情況討論：
①、當k＜4時，其焦點在x軸上，
此時有a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{k}$，則c=$\sqrt{4-k}$，
若其離心率為$\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解可得k=3，
②、當k＞4時，其焦點在y軸上，
此時有b=$\sqrt{4}$=2，a=$\sqrt{k}$，則c=$\sqrt{k-4}$，
若其離心率為$\frac{1}{2}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{k-4}}{\sqrt{k}}$=$\frac{1}{2}$，
解可得k=$\frac{16}{3}$，
綜合可得：k=3或$\frac{16}{3}$；
故選：C．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，注意本題不能確定橢圓焦點的位置，需要分情況討論．