Question

11．已知$A（cosα，\sqrt{3}sinα），B（2cosβ，\sqrt{3}sinβ），C（-1，0）$是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足關(guān)系$\overrightarrow{CA}=λ\overrightarrow{BC}$，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[-2，1]，λ≠0．．

Answer 1

分析 利用向量共線定理可得：1+cosα=λ（-1-2cosβ），$\sqrt{3}$sinα=-λ$\sqrt{3}$sinβ，利用1=cos²α+sin²α，化為：λ=$\frac{4cosβ+2}{3co{s}^{2}β+4cosβ+2}$，令2cosβ+1=t∈[-1，3]，可得λ=$\frac{8t}{3{t}^{2}+2t+3}$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{CA}=λ\overrightarrow{BC}$，∴$（cosα+1，\sqrt{3}sinα）$=λ$（-1-2cosβ，-\sqrt{3}sinβ）$，
∴1+cosα=λ（-1-2cosβ），$\sqrt{3}$sinα=-λ$\sqrt{3}$sinβ，
∴1=cos²α+sin²α=[λ（-1-2cosβ）-1]²+（-λsinβ）²，
化為：λ=$\frac{4cosβ+2}{3co{s}^{2}β+4cosβ+2}$，
令2cosβ+1=t∈[-1，3]．
則λ=$\frac{8t}{3{t}^{2}+2t+3}$=f（t），
f′（t）=$\frac{-24（t+1）（t-1）}{（3{t}^{2}+2t+3）^{2}}$，
可知：t=1時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值，f（1）=1．
又f（-1）=-2，f（3）=$\frac{2}{3}$．
∴λ∈[-2，1]，
由于t=0時(shí)，λ=0，點(diǎn)A與C重合，舍去．
∴λ∈[-2，1]，λ≠0．
故答案為：[-2，1]，λ≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、平方共線、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．