Question

（本小題滿分14分）已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）A={a|－1≤a≤1}.（2）存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

解析:

（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，

∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(shè)(x)=x²－ax－2，

方法一：

           (1)=1－a－2≤0，

①                        －1≤a≤1，

               (－1)=1+a－2≤0.

∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.   

 方法二：

       ≥0，                   <0，

①                     或

           (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0

       0≤a≤1         或       －1≤a≤0

       －1≤a≤1.

∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根，

  x₁+x₂=a，x₁x₂=－2，

∴   從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②   g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；

當(dāng)m≠0時(shí)，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.