Question

（2013•煙臺(tái)二模）已知函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）存在極值，則k的取值集合是（　�。�

A．{2，4，6，8，…}

B．{0，2，4，6，8，…}

C．{l，3，5，7，…}

D．N^*

Answer 1

分析：對(duì)k分奇偶討論，對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而探求在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號(hào)的改變，從而確定是否存在極值點(diǎn)．

解答：解：∵k∈N^*，
①當(dāng)k的取值集合是{2，4，6，8，…}時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2lnx，
∴f'（x）=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，由f'（x）=0得x=-1，或x=1．
當(dāng)x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時(shí)，y′＞0；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，y′＜0
∴當(dāng)x=-1和x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)．
②當(dāng)k的取值集合是{l，3，5，7，…}時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2lnx，
∴f'（x）=2x+

2

x

=

2(x2+1)

x

，由f'（x）=0得x∈∅．故此時(shí)原函數(shù)不存在極值點(diǎn)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，并注意在導(dǎo)數(shù)為0的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號(hào)的改變．