Question

8．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（1）若a-b=5，求△ABC面積的最大值；
（2）若a=2，2sin²A-sinAsinC=sin²C，求b及c的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）將a-b=5兩邊平方，求得a²+b²-2ab=25，利用基本不等式關(guān)系，求得ab的取值范圍，即可求得三角形的面積最大值．
（2）根據(jù)正弦定理，化簡(jiǎn)2a²-ac=c²，求得a的值，再由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，求得c=$\sqrt{10}$．

解答 解：（1）在△ABC中，a-b=5，兩邊平方得：a²+b²-2ab=25，a²+b²≥2ab，
25+2ab≥2ab，ab≤25，
△ABC面積S，S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×25×$\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{25\sqrt{10}}{8}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{25\sqrt{10}}{8}$；
（2）2sin²A-sinAsinC=sin²C，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴2a²-ac=c²，
a=2，
∴c²+2c-8=0，解得：c=2，c=-4（舍去），
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
代入求c=$\sqrt{10}$，
∴c=2，c=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理與基本不等式相結(jié)合，考查學(xué)生的觀察和應(yīng)用能力，屬于中檔題．