Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c，當(dāng)x=x₁∈（-1，0）時取得極大值，當(dāng)x=x₂∈（0，1）時取得極小值，則2b-a的取值范圍為（　�。�

• A、（-3，1）
• B、（-2，1）
• C、（-1，1）
• D、（-2，-1）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：據(jù)極大值點左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出范圍．

解答： 解：解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+b，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極小值，
∴f′（x）=x²+ax+b=0在（-1，0）和（0，1）內(nèi)各有一個根，
即f′（0）＜0，f′（1）＞0，f′（-1）＞0，
即a，b滿足

b＜0 a-b＜1 a+b＞-1

，
令t=2b-a，
畫出a，b滿足的平面區(qū)域為三角形區(qū)域（不含邊界）和直線l：2b-a=0，
當(dāng)l經(jīng)過點（0，-1）時，t=-2，當(dāng)經(jīng)過點（-1，0）時，t=1，
即2b-a的取值范圍為（-2，1）．
故選B．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值，考查二次方程的實根分布，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，以及應(yīng)用線性規(guī)劃的知識求范圍，是一道中檔題．