Question

10．已知f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）對稱軸和對稱中心；
（3）f（x）在[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式及輔助角公式，將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=$5sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，利用周期公式，即可求得f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心即可求得f（x）對稱軸和對稱中心；
（3）由x的取值范圍求得2x-$\frac{π}{3}$的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性即可求得f（x）在[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）$f（x）=5sinxcosx-5\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$，
=$\frac{5}{2}$sin2x-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$（2cos²x-1），
=$\frac{5}{2}$sin2x-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cos2x，
=$5sin（{2x-\frac{π}{3}}）$…（2分）
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π； …（4分）
（2）正弦函數(shù)的對稱軸為2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
正弦函數(shù)的對稱中心為：（2x-$\frac{π}{3}$=2kπ，0），k∈Z，
∴f（x）對稱軸$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，對稱中心為$（\frac{5π}{6}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$；…（6分）
（3）當(dāng)$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時，有$0≤2x-\frac{π}{3}≤π$，從而
當(dāng)$0≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$時，即$\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{12}$時，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π$時，即$\frac{5π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}$時，f（x）單調(diào)遞減，
綜上可知，f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}]$上單調(diào)遞增；f（x）在$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)遞減．…（10分）

點評 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查二倍角公式及輔助角公式，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．