Question

如圖，在直三棱柱中，

，。M、N分別是AC和BB1的中點(diǎn)。

（1）求二面角的大小。

（2）證明：在AB上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得平面⊥平面，

并求出的長(zhǎng)度。

 

 

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）有兩種思路，其一是利用幾何體中的垂直關(guān)系，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為，軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面的法向量的夾角求二面角的大小.其二是按照作出二面角的平面角，并在三角形中求出該角的方法，利用平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足是,過(guò)作，垂足為，連結(jié),得二面角的平面角，最后在直角三角形中求；

（2）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，求出平面的法向量，和平面的法向量

再由確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求線段的長(zhǎng)度.

方法一（向量法）：如圖建立空間直角坐標(biāo)系 1分

（1）

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為

則有 3分

5分

設(shè)二面角為，則

∴二面角的大小為60°。 6分

（2）設(shè), ∵

∴，設(shè)平面的法向量為

則有 10分

由（1）可知平面的法向量為，

平面平面

即此時(shí), 12分

方法二：（1）取中點(diǎn)，連接

又平面,

平面 ，過(guò)作于，連接

平面 為二面角的平面角 3分

又

 

∴, ∴

（2）同解法一.

考點(diǎn)：1、二面角及其平面角的求法；2、空間直角坐標(biāo)系；3、向量方法在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.