Question

9．已知橢圓x²+my²=1的焦距為$\sqrt{3}$，則m=4或$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將橢圓的方程變形為標準方程，求出m的范圍，分2種情況討論：①、0＜m＜1時，②、m＞1時，每種情況下分析焦點位置，用m表示焦距，即可得關于m的值，綜合兩種情況即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓的方程為：x²+my²=1，其標準方程為$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1，若其表示橢圓，必有m＞0且m≠1，
分2種情況討論：
①、0＜m＜1時，$\frac{1}{m}$＞1，橢圓的焦點在y軸上，
則c=$\sqrt{\frac{1}{m}-1}$，
若其焦距為$\sqrt{3}$，則有2$\sqrt{\frac{1}{m}-1}$=$\sqrt{3}$，
解可得m=$\frac{4}{7}$，
②、m＞1時，0＜$\frac{1}{m}$＜1，橢圓的焦點在x軸上，
則c=$\sqrt{1-\frac{1}{m}}$，
若其焦距為$\sqrt{3}$，則有2$\sqrt{1-\frac{1}{m}}$=$\sqrt{3}$，
解可得m=4；
綜合可得：m=4或m=$\frac{4}{7}$；
故答案為：4或$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，注意橢圓的焦距是2c，其次要分析橢圓的焦點位置．