Question

5．已知k∈R，點P（a，b）是直線x+y=2k與圓x²+y²=k²-2k+3的公共點，則ab的最大值為（　�。�

• A． 15
• B． 9
• C． 1
• D． -$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離小于等于半徑，以及圓半徑為正數(shù)，求出k的范圍，再根據(jù)P（a，b）是直線x+y=2k與圓x²+y²=k²-2k+3的公共點，滿足直線與圓方程，代入直線與圓方程，化簡，求出用k表示的ab的式子，根據(jù)k的范圍求ab的最大值．

解答 解：由題意，圓心（0.0）到直線的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{{k}^{2}-2k+3}$
解得-3≤k≤1，
又∵k²-2k+3＞0恒成立
∴k的取值范圍為-3≤k≤1，
由點P（a，b）是直線x+y=2k與圓x²+y²=k²-2k+3的公共點，
得（a+b）²-a²-b²=2ab=3k²+2k-3=3（k+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{10}{3}$，
∴k=-3時，ab的最大值為9．
故選B．

點評 本題主要考查了直線與圓相交位置關(guān)系的判斷，做題時考慮要全面，不要丟情況．