Question

9．若關(guān)于x 的方程sinx+cosx-m=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由題意，關(guān)于x 的方程sinx+cosx-m=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）與函數(shù)y=m的圖象有交點(diǎn)問題．

解答 解：由題意，sinx+cosx-m=0，轉(zhuǎn)化為：sinx+cosx=m，設(shè)函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，則x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]
∴函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的值域?yàn)閇1，$\sqrt{2}$]
關(guān)于x 的方程sinx+cosx-m=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
則函數(shù)y=m的值域?yàn)閇1，$\sqrt{2}$]，即m∈[1，$\sqrt{2}$]
故答案為：[1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程有解問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的問題．屬于基礎(chǔ)題．