Question

20．設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，$（1+\frac{x}{k}{）^4}$的展開式中x³的系數(shù)為$\frac{1}{16}$，記函數(shù)y=x²與y=kx的圖象所圍成的陰影部分為S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域S內(nèi)的概率是（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 首先利用二項(xiàng)式定理求得k的值，利用定積分的性質(zhì)求陰影的面積，再利用幾何概型求得陰影面積的概率．

解答 由二項(xiàng)式定理可知根據(jù)題意得 ${C}_{4}^{3}（\frac{1}{k}）^{3}$=$\frac{1}{16}$，
解得k=4；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=4k}\end{array}\right.$解得兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（16，4），
陰影部分的面積為S=${∫}_{0}^{4}4x-{x}^{2}dx$=$2{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}{丨}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$，
由幾何概型可知點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域的概率為P=$\frac{\frac{32}{3}}{64}=\frac{1}{6}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了定積分和二項(xiàng)式定理，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，再根據(jù)幾何概型求得概率，積分變量的選取是至關(guān)重要的，屬于基礎(chǔ)題．