Question

16．過拋物線x²=8y的焦點(diǎn)F的直線與其相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|=6，則△OAB的面積為6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得A的坐標(biāo)（-4$\sqrt{2}$，4），再由三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，可得B的坐標(biāo)，由△OAB的面積為$\frac{1}{2}$|OF|•|x_A-x_B|，計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線x²=8y的焦點(diǎn)F（0，2），準(zhǔn)線為y=-2，
由拋物線的定義可得|AF|=y_A+2=6，
解得y_A=4，可設(shè)A（-4$\sqrt{2}$，4），
設(shè)B（m，$\frac{{m}^{2}}{8}$），由A，F(xiàn)，B共線可得，
k_AF=k_BF，即$\frac{4-2}{-4\sqrt{2}}$=$\frac{\frac{{m}^{2}}{8}-2}{m}$，
解得m=2$\sqrt{2}$（-4$\sqrt{2}$舍去），
即有B（2$\sqrt{2}$，1），
則△OAB的面積為$\frac{1}{2}$|OF|•|x_A-x_B|=$\frac{1}{2}$•2•|-4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$|=6$\sqrt{2}$．
故答案為：6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．