Question

5．上海磁懸浮列車工程西起龍陽路地鐵站，東至浦東國際機(jī)場，全線長35km．已知運(yùn)行中磁懸浮列車每小時所需的能源費(fèi)用（萬元）和列車速度（km/h）的立方成正比，當(dāng)速度為100km/h時，能源費(fèi)用是每小時0.04萬元，其余費(fèi)用（與速度無關(guān)）是每小時5.12萬元，已知最大速度不超過C（km/h）（C為常數(shù)，0＜C≤500）．
（1）求列車運(yùn)行全程所需的總費(fèi)用y與列車速度v的函數(shù)關(guān)系，并求該函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)列車速度為多少時，運(yùn)行全程所需的總費(fèi)用最低？

Answer 1

分析 （1）依題意要明確三點(diǎn)：1、列車運(yùn)行的總費(fèi)用由兩部分組成，即能源費(fèi)用及其余費(fèi)用，2、為了求出能源費(fèi)用，還必須求出列車每小時使用的能源費(fèi)用與列車速度的立方成正比的比例系數(shù)，3、要注意實際背景下的函數(shù)定義域，以獲得具有實際意義的答案．
（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，注意定義域．

解答 解：（1）設(shè)能源費(fèi)用每小時是q千元，車速是vkm/h，依題意有q=kv³（k為比例系數(shù)），
將v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列車從甲地行駛到乙地，所需的總費(fèi)用為y=f（x）=1.4×10^-6v²+$\frac{35}{v}×5.12$（0＜v≤C）（C為常數(shù)，0＜C≤500）．
（2）因為f（x）=1.4×10^-6v²+$\frac{35}{v}×5.12$，
所以f′（x）=2.8×10^-6v-$\frac{179.2}{{v}^{2}}$=0，v=400
所以0＜C≤400，函數(shù)在（0，400]上單調(diào)遞減，v=C時，運(yùn)行全程所需的總費(fèi)用最低；
400≤C≤500時，v=400，運(yùn)行全程所需的總費(fèi)用最低．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)知識求函數(shù)的最值，屬于中檔題．