Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-1，0），且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為1．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|=$\frac{24}{7}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，a-c=1，由a，c，b的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)直線的方程y=k（x+1），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，解方程可得斜率k，進(jìn)而得到直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可得c=1，
橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為1，即為a-c=1，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得方程為x=-1，
代入橢圓方程，解得y=±$\frac{3}{2}$，則|AB|=3不成立；
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{24}{7}$，
即為$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{24}{7}$，解得k=±1，
則直線l的方程為y=±（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．