已知函數(shù)f(x)是區(qū)間D⊆[0,+∞)上的增函數(shù),若f(x)可表示為f(x)=f1(x)+f2(x),且滿足下列條件:①f1(x)是D上的增函數(shù);②f2(x)是D上的減函數(shù);③函數(shù)f2(x)的值域A⊆[0,+∞),則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“偏增函數(shù)”.
(1)(i) 問函數(shù)y=sinx+cosx是否是區(qū)間上的“偏增函數(shù)”?并說明理由;
(ii)證明函數(shù)y=sinx是區(qū)間上的“偏增函數(shù)”.
(2)證明:對(duì)任意的一次函數(shù)f(x)=kx+b(k>0),必存在一個(gè)區(qū)間D⊆[0,+∞),使f(x)為D上的“偏增函數(shù)”.
【答案】分析:(1)(i)記f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,根據(jù)偏增函數(shù)的定義及正余弦函數(shù)的性質(zhì)可作出判斷;(ii)f(x)=(sinx-cosx)+cosx,記,根據(jù)偏增函數(shù)的定義可證明;
(2)分情況討論:①當(dāng)b>0時(shí),令f1(x)=(k+1)x,f2(x)=-x+b,取D=(0,b);②當(dāng)b≤0時(shí),取c>0,且滿足c+b>0,令f1(x)=(k+1)x-c,f2(x)=-x+b+c,D=(0,b+c),根據(jù)偏增函數(shù)定義即可證明;
解答:(1)解:(i) y=sinx+cosx是區(qū)間上的“偏增函數(shù)”.
記f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,顯然f1(x)=sinx在上單調(diào)遞增,f2(x)=cosx在上單調(diào)遞減,
且f2(x)=cosx∈(,1)⊆[0,+∞),
上單調(diào)遞增,
故y=sinx+cosx是區(qū)間上的“偏增函數(shù)”.
(ii)證明:
,
顯然上單調(diào)遞增,f2(x)=cosx在上單調(diào)遞減,
且f2(x)=cosx∈(,1)⊆[0,+∞),
又y=f(x)=f1(x)+f2(x)=sinx在上單調(diào)遞增,
故y=sinx是區(qū)間上的“偏增函數(shù)”. 
(2)證明:①當(dāng)b>0時(shí),令f1(x)=(k+1)x,f2(x)=-x+b,D=(0,b),顯然D=(0,b)⊆[0,+∞),
∵k>0,∴f(x)=kx+b在(0,b)上單調(diào)遞增,
f1(x)=(k+1)x在(0,b)上單調(diào)遞增,f2(x)=-x+b在(0,b)上單調(diào)遞減,
且對(duì)任意的x∈(0,b),b>f2(x)>f2(b)=0,
因此b>0時(shí),必存在一個(gè)區(qū)間(0,b),使f(x)=kx+b(k>0)為D上的“偏增函數(shù).
②當(dāng)b≤0時(shí),取c>0,且滿足c+b>0,令f1(x)=(k+1)x-c,f2(x)=-x+b+c,D=(0,b+c)⊆[0,+∞),
顯然,f(x)=kx+b在(0,b+c)上單調(diào)遞增,
f1(x)=(k+1)x-c在(0,b+c)上單調(diào)遞增,f2(x)=-x+b+c在(0,b+c)上單調(diào)遞減,
且對(duì)任意的(0,b+c),b+c>f2(x)>f2(b+c)=0,
因此b≤0時(shí),必存在一個(gè)區(qū)間(0,b+c),使f(x)=kx+b(k>0)為D上的“偏增函數(shù)”.
綜上,對(duì)任意的一次函數(shù)f(x)=kx+b(k>0),必存在一個(gè)區(qū)間D⊆[0,+∞),
使f(x)為D上的“偏增函數(shù)”.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性、正余弦函數(shù)的性質(zhì),考查分類討論思想,考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析問題解決新問題的能力,綜合性強(qiáng),難度大.
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