Question

7．已知橢圓C的中心在原點，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且與拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$有共同的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A₁、A₂，P為橢圓C上異于A₁、A₂的動點，直線A₁P、A₂P分別交直線l：x=4于M、N兩點，設(shè)d為M、N兩點之間的距離，求d的最小值．

Answer 1

分析 （I）拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點為$（\sqrt{3}，0）$，即為橢圓的焦點．設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由題意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)P（x₀，y₀），（x₀≠±2，y₀≠0），可得$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，根據(jù)點斜式可得直線A₁P、A₂P的方程，分別交直線l：x=4于M，N兩點，可得d=$\frac{1}{|\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}|}$，k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$表示經(jīng)過橢圓上的點P（x₀，y₀）與點Q（4，0）的直線的斜率（y₀≠0）．設(shè)經(jīng)過點Q且斜率為k的直線方程為：y=k（x-4），與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式即可得出．

解答 解：（I）拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點為$（\sqrt{3}，0）$，即為橢圓的焦點．
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由題意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）由（I）可得：A₁（-2，0），A₂（2，0），設(shè)P（x₀，y₀），（x₀≠±2，y₀≠0），
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴$4{y}_{0}^{2}$=4-${x}_{0}^{2}$．
直線A₁P、A₂P的方程分別為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），分別交直線l：x=4于M$（4，\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$，N$（4，\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}）$兩點，
d=$|\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}|$=$|\frac{4{y}_{0}{x}_{0}-16{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-4}|$=$|\frac{4{y}_{0}{x}_{0}-16{y}_{0}}{4{y}_{0}^{2}}|$=$|\frac{{x}_{0}-4}{{y}_{0}}|$=$\frac{1}{|\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}|}$，
k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$表示經(jīng)過橢圓上的點P（x₀，y₀）與點Q（4，0）的直線的斜率（y₀≠0）．
設(shè)經(jīng)過點Q且斜率為k的直線方程為：y=k（x-4），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，
由△=（32k²）²-4（1+4k²）（64k²-4）≥0，化為：k²≤$\frac{1}{12}$，解得$-\frac{\sqrt{3}}{6}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，k≠0，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{6}$時，d取得最小值$\frac{1}{|±\frac{\sqrt{3}}{6}|}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線的方程、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．