Question

4．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=4，|PF₂|=2．
（1）求橢圓的方程：
（2）若直線l：y=x+1與橢圓C的兩交點(diǎn)為A，B，求弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可得2a=6，再由勾股定理可得c，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）由橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
即有2a=4+2=6，解得a=3，
又PF₁⊥PF₂，由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有4²+2²=（2c）²，
解得c=$\sqrt{5}$，
又b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{9-5}$=2，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）將直線l：y=x+1代入橢圓方程，可得
13x²+18x-27=0，
判別式為18²+4×13×27＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{18}{13}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{13}$，
則縱坐標(biāo)為-$\frac{9}{13}$+1=$\frac{4}{13}$，
故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{9}{13}$，$\frac{4}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義，考查弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．