Question

【題目】已知函數f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（1）當m=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）在x=1時取得極大值，求證：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（3）若m≤8，當x≥1時，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞）， ，

解f′（x）=0，得 ．當 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當 時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

綜上，當m=1時，f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減．

（2）解：若f（x）在x=1時取得極大值，則 ，則m=2．

此時f（x）=2lnx﹣x2+2， ．

令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，

則 . ．

令g′（x）=0，得x=±1．列表得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	﹣
g（x）	↗	極大值	↘

…（8分）

由上表知，gmax（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3．

（3）解：令

則 ①．

當m≤2時，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以當x≥1，g（x）≤

g（1），

故只需g（1）≤0，即﹣1﹣2﹣m+5≤0，即m≥2，所以m=2．

②當2＜m≤8時，解g′（x）=0，得 ．

當 時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；

當 時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減．

所以當 時，g（x）取得最大值．

故只需 ，即 ，

令 ，則 ， ，

所以h′（x）在（1，+∞）上單調遞增，

又h′（1）=﹣2＜0，h′（4）=ln4﹣1＞0，以x0∈（1，4），h′（x0）=0，

所以h（x）在（1，x0）上單調遞減，

在（x0，4）上遞增，而h（1）=﹣1﹣4+5=0，h（4）=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7＜0，

所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，

所以當2＜m≤8時， ．

綜上所述，2≤m≤8．

【解析】（1）f（x）的定義域為（0，+∞），求出函數的導數，利用f′（x）=0，求出極值點判斷函數的單調性，求出單調區(qū)間．（2）利用f（x）在x=1時取得極大值，求出m，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，通過函數的導數，求出函數的最值即可．（3）令 ，求出導函數，通過當m≤2時，g′（x）＜0，當2＜m≤8時，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．