Question

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c（x）=1200+

2

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x³（萬(wàn)元），已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元，則產(chǎn)量定為

 

件時(shí)，總利潤(rùn)最大．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分析題目數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，得出總利潤(rùn)函數(shù)L（x）=

500

x

•x-（1200+

2

75

x³）（x＞0），注意定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值，還原為實(shí)際問(wèn)題即可．

解答： 解：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為p，則有p²=

k

x

，
將x=100，p=50代入，得k=250000，
所以p=p（x）=

500

x

，
設(shè)總利潤(rùn)為L(zhǎng)，L=L（x）=p（x）-c（x）=

500

x

•x-（1200+

2

75

x³）（x＞0）
即L（x）=

500

x

•x-1200-

2

75

x³，L'（x）=

250

x

-

2x2

25

，
令L'（x）=0，即

250

x

-

2x2

25

=0，解得x=25，
因?yàn)閤=25是函數(shù)L（x）在（0，+∞）上唯一的極值點(diǎn)，
且是極大值點(diǎn)，從而是最大值點(diǎn)．
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的方法和步驟，屬于中檔題．