Question

已知二次函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且f（0）=-1，f[f（-2）]=8
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g（x）=ax-2，A=[-2，2]，且對(duì)于任意x₁∈A總存在x₂∈A，使f（x₁）=g（x₂），求a的取值范圍；
（3）對(duì)任意x∈[

3

2

，+∞），f（

x

m

）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m），恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）待定系數(shù)法；
（2）說明函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）值域的子集，據(jù)此構(gòu)造出關(guān)于a的不等式組；
（3）先化簡原函數(shù)，分離參數(shù)m，轉(zhuǎn)化為函數(shù)額最值問題來解．

解答： 解（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，且f（0）=-1，
所以b=0．c=-1，故此時(shí)f（x）=ax²-1，因?yàn)閒[f（-2）]=8，所以16a³-8a²+a-9=0，
即（a-1）（16a²+8a+9）=0，顯然a=1，或16a²+8a+9=0無實(shí)數(shù)根，所以a=1．
所以f（x）=x²-1．
（2）設(shè)g（x）=ax-2，x∈[-2，2]值域?yàn)镸，f（x）=x²-1，x∈[-2，2]的值域?yàn)镹．
由題意，要使且對(duì)于任意x₁∈A總存在x₂∈A，使f（x₁）=g（x₂），只需N⊆M．
結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，N=[-1，3]
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-2，顯然不符合題意，故a≠0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
所以要使N⊆M，只需

-2a-2≤-1 2a-2≥3

或

2a-2≤-1 -2a-2≥3

成立，
解得a≥

5

2

或a≤-

5

2

．故所求的a的范圍是（-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞）．
（3）依據(jù)題意得

x2

m2

-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)恒成立，
即

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在x∈[

3

2

，+∞)上恒成立，
對(duì)函數(shù)y=-

3

x2

-

2

x

+1=-3(

1

x

+

1

3

)2+

4

3

，

1

x

∈(0，

2

3

]，當(dāng)

1

x

=

2

3

時(shí)有最小值-

5

3

，
所以只需

1

m2

-4m2≤-

5

3

，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-

3

2

或m≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：這道題考查了待定系數(shù)法求解析式，以及利用函數(shù)思想求解而不等式恒成立問題的思路．