Question

15．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，若|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值為2（λ∈R），則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（　�。�

• A． 0
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow}^{2}$．|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$≥2（λ∈R），化為：16λ²-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-4≥0對(duì)于λ∈R恒成立，必須△≤0，解出即可得出．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow}^{2}$．
若|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$≥2（λ∈R），
化為：16λ²-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-4≥0對(duì)于λ∈R恒成立，
∴△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}$-64（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-4）≤0，化為$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8）^{2}$≤0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=8．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．