Question

11．已知函數(shù)f（x）=3lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{3}{x}$-ax-2=$\frac{-{ax}^{2}-2x+3}{x}$，
令g（x）=-ax²-2x+3，
（1）a=0時，g（x）=-2x+3，
令g（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{3}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）遞增，在（$\frac{3}{2}$，+∞）遞減，
（2）a≠0時，g（x）是二次函數(shù)，△=4+12a，
①a＞0時，△＞0，圖象開口向下，g（x）=0兩個根，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1±\sqrt{1+3a}}{a}$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）遞減，
②-$\frac{1}{3}$＜a＜0時，△＞0，圖象開口向上，g（x）=0兩個根，
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1±\sqrt{1+3a}}{a}$，
而-$\frac{1-\sqrt{1+3a}}{a}$＜0，-$\frac{1+\sqrt{1+3a}}{a}$＞0，
∴f（x）在（0，-$\frac{1+\sqrt{1+3a}}{a}$）遞減，在（-$\frac{1+\sqrt{1+3a}}{a}$，+∞）遞增，
③a≤-$\frac{1}{3}$時，△≤0，g（x）開口向上，
g（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．