Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．若當(dāng)x≥0時，f（x）=

|1- 1 x | 0

x＞0， x=0.

（1）當(dāng)0＜a＜b時，若f（a）=f（b），則ab的取值范圍

 

；
（2）若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數(shù)解，則b，c滿足的條件

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因為0＜a＜b，所以f（a）=f（b）建立等式關(guān)系，然后利用基本不等式即可求出ab的范圍；
（2）根據(jù)圖象可知對于方程f（x）=a，當(dāng)a=0時，方程有3個根；當(dāng)0＜a＜1時，方程有4個根，當(dāng)a≥1時，方程有2個根；當(dāng)a＜0時，方程無解，則要使關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數(shù)解，關(guān)于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一個在區(qū)間（0，1）的正實數(shù)根和一個等于零的根，即可求出b、c滿足的條件．

解答： 解：若x＜0，在-x＞0，則f（-x）=|1+

1

x

|，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=|1+

1

x

|=f（x），
即f（x）=|1+

1

x

|，x＜0，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
（1）∵0＜a＜b，∴f（a）=f（b），
即|1-

1

a

|=|1-

1

b

|，整理得

1

a

+

1

b

=2，
即a+b=2ab＞2

ab

，
解得ab＞1，
解得ab的取值范圍是（1，+∞）．
（2）由圖象可知對于方程f（x）=a，當(dāng)a=0時，方程有3個根；
當(dāng)0＜a＜1時，方程有4個根，
當(dāng)a≥1時，方程有2個根；當(dāng)a＜0時，方程無解
∴要使關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數(shù)解，關(guān)于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一個在區(qū)間（0，1）的正實數(shù)根和一個等于零的根．
∴c=0，f（x）=-b∈（0，1），
即-1＜b＜0，c=0．
故答案為：（1）．（1，+∞）．（2）．-1＜b＜0，c=0．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．綜合性較強，難度較大．