Question

13．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{2S}{a+b+c}$，這是平面幾何中的一個(gè)命題，其證明采用“面積法”：S_△ABC=S_△OAB+S_△OAC=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r．則r=$\frac{2S}{a+b+c}$．
（1）將此結(jié)論類比到空間四面體：設(shè)四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄．體積為V，猜想四面體的內(nèi)切球半徑（用S₁，S₂，S₃，S₄，V，表示）．
（2）用綜合法證明上述結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可，
（2）類似△ABC的內(nèi)切圓半徑r=$\frac{2S}{a+b+c}$的即可證明．

解答 解：（1）設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個(gè)面的距離都是R，
∴四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，
分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．
則四面體的體積為V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
∴r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$，
（2）證明：V_S-ABC=V_O-ABC+V_O-SAB+V_O-SBC+V_O-SAC=$\frac{r}{3}$（S_△ABC+S_△SAB+V_△SBC+V_O△SAC），
∴r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$

點(diǎn)評(píng) 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．