（本小題滿分14分）
已知橢圓：上的一動點到右焦點的最短距離為，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 過點(，)的動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解： (Ⅰ)設橢圓的焦距為，則由題設可知，解此方程組得
，.   所以橢圓C的方程是.     ………5分
(Ⅱ)解法一：假設存在點T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設其方程為，
將它代入橢圓方程，并整理，得     
設點A、B的坐標分別為，則    ……7分
因為及
所以

                          ……10分
當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，
所以解得
此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）.                         ……12分
當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點T（0，1）.
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件.         ……14分
解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是      
由解得.
由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）.                      ……8分
事實上點T（0，1）就是所求的點. 證明如下：
當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，
過點T（0，1）；當直線l的斜率存在，設直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得
設點A、B的坐標為，則           ……11分
因為，

 
所以，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）.              ……13分
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.           ……14分
略
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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2008年北京奧運會中國跳水夢之隊取得了輝煌的成績。據(jù)科學測算，跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動軌跡（如圖所示）是一經(jīng)過坐標原點的拋物線（圖中標出數(shù)字為已知條件），且在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下運動員在空中的最高點距水面米，入水處距池邊4米，同時運動員在距水面5米或5米以上時，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤。

（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）某運動員按（1）中拋物線運行，要使得此次跳水成功，他在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應為多大？

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在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為．記動點C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量 與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（（本小題滿分12分）
已知橢圓
是橢圓上縱坐標不為零的兩點，若其中F為橢圓的左焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

雙曲線的一個焦點是，則的值是__________．

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在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為．在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為則與的交點個數(shù)為       ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知橢圓的焦點為、，點為橢圓上任意一點，過作的外角平分線的垂線，垂足為點，過點作軸的垂線，垂足為，線段的中點為，則點的軌跡方程為________________

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線上一點到準線的距離為3，則點的橫坐標為（  ▲  ）
A．1B．2C．3D．4

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