Question

13．2015年春，某地干旱少雨，農(nóng)作物受災(zāi)嚴(yán)重，為了使今后保證農(nóng)田灌溉，當(dāng)?shù)卣�府決定建一橫斷面為等腰梯形的水渠（水渠的橫斷面如圖所示），為減少水的流失量，必須減少水與渠壁的接觸面，若水渠橫斷面的面積設(shè)計(jì)為定值S，渠深為h，則水渠壁的傾斜角α（0＜α＜$\frac{π}{2}$）為多大時(shí)，水渠中水的流失量最小？

Answer 1

分析 作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=$\frac{S}{h}$+$\frac{h（2-cosα）}{sinα}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），令u=$\frac{2-cosα}{sinα}$，求出u取最小值時(shí)α的大小，可得結(jié)論．

解答 解：作BE⊥DC于E，
在Rt△BEC中，BC=$\frac{h}{sinα}$，CE=hcotα，
又AB-CD=2CE=2hcotα，AB+CD=$\frac{2S}{h}$，
故CD=$\frac{S}{h}$-hcotα．
設(shè)y=AD+DC+BC，
則y=$\frac{S}{h}$-hcotα+$\frac{2h}{sinα}$=$\frac{S}{h}$+$\frac{h（2-cosα）}{sinα}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
由于S與h是常量，欲使y最小，只需u=$\frac{2-cosα}{sinα}$取最小值，
u可看作（0，2）與（-sinα，cosα）兩點(diǎn)連線的斜率，
由于α∈（0，$\frac{π}{2}$），
點(diǎn)（-sinα，cosα）在曲線x²+y²=1
（-1＜x＜0，0＜y＜1）上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)過（0，2）的直線與曲線相切時(shí)，直線斜率最小，
此時(shí)切點(diǎn)為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則有sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且cosα=$\frac{1}{2}$，
那么α=$\frac{π}{3}$，
故當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時(shí)，水渠中水的流失量最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值，直線與圓的位置關(guān)系，其中求出水與渠壁的接觸面y的解析式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，是解答的關(guān)鍵．