Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*），且a₁=1．
證明：數(shù)列{

an

2n-1

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：充分利用S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*），且a₁=1結(jié)合數(shù)列的S_n與a_n的關(guān)系得到數(shù)列{a_n}的遞推公式，通過構(gòu)造新數(shù)列得到數(shù)列{

an

2n-1

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出此數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 證明∵Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)a1=1，
∴S1=a2-22+1=1，解得a₂=4
由

Sn=an+1-2n+1+1，(n≥1) Sn-1=an-2n+1，(n≥2)

兩式相減整理得an+1=2an+2n(n≥2)-------（4分）
檢驗(yàn)知a₁=1，a₂=4滿足an+1=2an+2n(n≥2)
∴an+1=2an+2n(n≥1)變形可得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1(n≥1)
∴數(shù)列{

an

2n-1

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，--------（8分）
所以

an

2n-1

=n，
解得an=n•2n-1(n≥1)------------------（10分）

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的證明；關(guān)鍵利用已知得到數(shù)列{a_n}的遞推公式，變形后得到新的數(shù)列{

an

2n-1

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，屬于中檔題．