Question

（平行班做）給出以下四個命題：
①命題p：?x∈R，tanx=2；命題q：?x∈R，x²-x+1≥0．則命題“p且q”是真命題；
②求函數(shù)f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

的零點個數(shù)為3；
③函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域相同；
④函數(shù)y=lg(x+

x2+1

)是奇函數(shù)．
其中正確的命題序號是

 

（把你認為正確的命題序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，分別判斷命題p真，命題q真，從而命題“p且q”是真命題；
②，可求函數(shù)f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

在（-∞，0]與（0，+∞）每段上零點個數(shù)，即可做出正誤判斷；
③，函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的定義域為R，與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域為R，從而可做出判斷；
④，函數(shù)y=lg(x+

x2+1

)的定義域為R，易求f（-x）=-f（x），從而作出判斷．

解答： 解：對于①，命題p：?x∈R，tanx=2，正確；
命題q：?x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥0，正確，
則命題“p且q”是真命題，①正確；
對于②，函數(shù)f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

，
當(dāng)x≤0時，由f（x）=（x+3）（x-1）=0得x=-3；
當(dāng)x＞0時，f（x）=-2+lnx為增函數(shù)，f（x）=-2+lnx在（0，+∞）上只有一個零點，
故f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

的零點個數(shù)為2，②錯誤；
對于③，函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的定義域為R，與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域為R，故二函數(shù)的定義域相同，③正確；
對于④，函數(shù)y=lg(x+

x2+1

)的定義域為R，且f（-x）+f（x）=lg[（

x2+1

+x）（

x2+1

-x）]=lg1=0，故是奇函數(shù)，④正確．
綜上所述，①③④正確，
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)、奇偶性質(zhì)及函數(shù)零點的確定，屬于中檔題．