Question

已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA+1，sinA），且

m

⊥

n

．
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正切公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0．
∴-（cosA+1）+

3

sinA=0，化為2sin(A-

π

6

)=1，
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

．
∵0＜A＜π，∴-

π

6

≠A-

π

6

＜

5π

6

，∴A-

π

6

=

π

6

，解得A=

π

3

．
（2）由

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，化為sin²B-sinBcosB-2cos²B=0，
∵cosB≠0，∴tan²B-tanB-2=0，
∴tanB=2或tanB=-1；
而tanB=-1使cos²B-sin²B=0，故應(yīng)舍去
，∴tanB=2，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2+ 3

1-2 3

=

8+5 3

11

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正切公式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題．