【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若為偶函數(shù),求的值并寫出的增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集為,當時,求的最小值;
(Ⅲ)對任意的,,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) ;增區(qū)間.
(2) 的最小值為,取“”時.
(3) .
【解析】
分析:(Ⅰ)由偶函數(shù)的定義得,求出的值.再根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判斷方法,確定的增區(qū)間;
(Ⅱ)根據(jù)已知條件結(jié)合韋達定理,求得的值.再化簡整理的表達式,結(jié)合和基本不等式即可得到答案.
(Ⅲ)先求出區(qū)間上,再將不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為上恒成立問題,構(gòu)造新函數(shù),得恒成立,分類討論求得參數(shù)的值.
詳解:解:(Ⅰ) 為偶函數(shù),
,即,解得.
所以,函數(shù),對稱軸,增區(qū)間
(Ⅱ)由題知
∴
又∵,∴
∴,
即的最小值為,取“”時
(Ⅲ)∵時,
∴在恒成立
記,()
①當時,
由,∴
②當時,
由,∴
③當時,
由,
綜上所述,的取值范圍是
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),試確定的取值范圍.
【答案】(1);(2)當時, 恒成立, 不存在極值.當時,
有極小值無極大值.(3).
【解析】試題分析:
(1)當時,求得,得到的值,即可求解切線方程.
(2)由定義域為,求得,分和時分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可求解函數(shù)的極值.
(3)根據(jù)題意在上遞增,得對恒成立,進而求解實數(shù)的取值范圍.
試題解析:
(1)當時, , ,
,又,∴切線方程為.
(2)定義域為, ,當時, 恒成立, 不存在極值.
當時,令,得,當時, ;當時, ,
所以當時, 有極小值無極大值.
(3)∵在上遞增,∴對恒成立,即恒成立,∴.
點睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點,所以在歷屆高考中,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ,本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行: (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系. (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù). (3)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知圓: 和點, 是圓上任意一點,線段的垂直平分線和相交于點, 的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)點是曲線與軸正半軸的交點,直線交于、兩點,直線, 的斜率分別是, ,若,求:①的值;②面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)黨中央“扶貧攻堅”的號召,某單位指導(dǎo)一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟收入.紫甘薯對環(huán)境溫度要求較高,根據(jù)以往的經(jīng)驗,隨著溫度的升高,其死亡株數(shù)成增長的趨勢.下表給出了2018年種植的一批試驗紫甘薯在不同溫度時6組死亡的株數(shù):
溫度(單位:℃) | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
死亡數(shù)(單位:株) | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
經(jīng)計算:,,,.
其中分別為試驗數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù),.
(1)與是否有較強的線性相關(guān)性? 請計算相關(guān)系數(shù)(精確到)說明.
(2)并求關(guān)于的回歸方程(和都精確到);
(3)用(2)中的線性回歸模型預(yù)測溫度為時該批紫甘薯死亡株數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:對于一組數(shù)據(jù),,……,,
①線性相關(guān)系數(shù),通常情況下當大于0.8時,認為兩
個變量有很強的線性相關(guān)性.
②其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)同時滿足:①在定義域內(nèi)存在,使得成立;
②不等式的解集有且只有一個元素;數(shù)列的前項和為,,,。
(Ⅰ)求的表達式;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅲ)設(shè),,的前項和為,若對任意,且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在桂林市某中學(xué)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽前的模擬測試中,得到甲、乙兩名學(xué)生的6次模擬測試成績(百分制)的莖葉圖.分數(shù)在85分或85分以上的記為優(yōu)秀.
(1)根據(jù)莖葉圖讀取出乙學(xué)生6次成績的眾數(shù),并求出乙學(xué)生的平均成績以及成績的中位數(shù);
(2)若在甲學(xué)生的6次模擬測試成績中去掉成績最低的一次,在剩下5次中隨機選擇2次成績作為研究對象,求在選出的成績中至少有一次成績記為優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平直角坐標系中,已知點,
(1)在軸的正半軸上求一點,使得以為直徑的圓過點,并求該圓的方程;
(2)在(1)的條件下,點在線段內(nèi),且平分,試求點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩定點, 和一動點,給出下列結(jié)論:
①若,則點的軌跡是橢圓;
②若,則點的軌跡是雙曲線;
③若,則點的軌跡是圓;
④若,則點的軌跡關(guān)于原點對稱;
⑤若直線與斜率之積等于,則點的軌跡是橢圓(除長軸兩端點).
其中正確的是__________(填序號).
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