Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-（a+2）x²+6x-c（a，c為常數(shù)）．
（I）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，示此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）記g(x)=

1

2

(a+2)x2+3-c，當(dāng)a≤0時，試討論函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)f（x）=ax³-（a+2）x²+6x-c（a，c為常數(shù)）為奇函數(shù)，可得c=0，a=-2，從而可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)a≤0時，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象的交點個數(shù)即為方程f（x）=g（x）的根的個數(shù)，即ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3=0的根的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)F（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3，即求函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸的交點的個數(shù)，分類討論：①當(dāng)a=0時，F(xiàn)（x）=-3（x-1）²，函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸只有一個交點；②當(dāng)a＜0時，

2

a

＜1，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸有3個不同交點．

解答：解：（I）∵f（x）=ax³-（a+2）x²+6x-c（a，c為常數(shù)）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴ax³-（a+2）x²-6x-c=-ax³+（a+2）x²-6x+c
∴c=0，a=-2
∴f（x）=-2x³+6x
∴f′（x）=-6（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0，可得-1＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜-1或x＞1
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
（II）記g(x)=

1

2

(a+2)x2+3-c，當(dāng)a≤0時，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象的交點個數(shù)即為方程f（x）=g（x）的根的個數(shù)，即ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3=0的根的個數(shù)．
令F（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3，即求函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸的交點的個數(shù)
F′（x）=3（x-1）（ax-2）
①當(dāng)a=0時，F(xiàn)（x）=-3（x-1）²，函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸只有一個交點；
②當(dāng)a＜0時，

2

a

＜1，F(xiàn)′（x）=3a（x-1）（x-

2

a

）
當(dāng)x＜

2

a

時，函數(shù)單調(diào)減，

2

a

＜x＜1時，函數(shù)單調(diào)增，當(dāng)x＞1時，函數(shù)單調(diào)減
∴當(dāng)x=

2

a

時，函數(shù)取得極小值為-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0；當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極大值-

a

2

＞0
∵F（2）=2a-3＜0
∴函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸有3個不同交點
綜上所述，當(dāng)a=0時，函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸只有一個交點；當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=F（x）的圖象與x軸有3個不同交點．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)與方程思想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題是解題的關(guān)鍵．