Question

過(guò)拋物線y=x²的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的弦OA、OB，若分別以O(shè)A、OB為直徑作圓，則兩圓的另一交點(diǎn)C的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A，B坐標(biāo)；利用向量垂直的充要條件得到A，B縱坐標(biāo)的乘積是常數(shù)；寫(xiě)出以O(shè)A，OB為直徑的圓；將A，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)看成一個(gè)方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理表示出A，B的縱坐標(biāo)乘積；列出等式得到p的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由于OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
則x₁²x₂²+x₁x₂=0，即x₁•x₂=-1①
以O(shè)A為直徑的圓為x（x-x₁）+y（y-x₁²）=0，
以O(shè)B為直徑的圓為x（x-x₂）+y（y-x₂²）=0，
設(shè)P（x₀，y₀）為兩圓的交點(diǎn)，
所以x₁，x₂可以看做關(guān)于z的方程x₀（x₀-z）+y₀（y₀-z²）=0的兩個(gè)根，
即y₀z²+x₀z-（x₀²+y₀²）=0，
由韋達(dá)定理得x₁•x₂=-

x02+y02

y0

，
結(jié)合①得x₀²+y₀²=y₀，
所以P的軌跡方程是x²+（y-

1

2

^）2=

1

4

（y≠0）．
故答案為：x²+（y-

1

2

^）2=

1

4

（y≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的運(yùn)用，考查向量垂直的充要條件、以一線段為直徑的圓的方程、二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．