Question

17．將邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角B-AC-D．則四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為（　�。�

• A． 1
• B． $2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． $2-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出V_D-ABC，再求出四面體ABCD的表面積S=S_△ADC+S_△ABC+S_△ABD+S_△BCD，由四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑r=$\frac{3{V}_{D-ABC}}{S}$，能求出結(jié)果．

解答 解：∵邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角B-AC-D，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，AC=2，
取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO，則DO=BO=$\sqrt{2-1}$=1，
且DO⊥平面ABC，
∴V_D-ABC=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$，
BD=$\sqrt{D{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AB=BC=AD=DC=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABD}={S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
${S}_{△ADC}={S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
∴四面體ABCD的表面積S=S_△ADC+S_△ABC+S_△ABD+S_△BCD
=2+$\sqrt{3}$，
∴四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑r=$\frac{3{V}_{D-ABC}}{S}$=$\frac{3×\frac{1}{3}}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的內(nèi)切球半徑的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意四面體內(nèi)切球半徑與其體積和表面積的關(guān)系式的合理應(yīng)用．