Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面BCC₁B₁⊥底面ABC，BB₁⊥AC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA₁=3，E、F分別在棱AA₁，CC₁上，且AE=C₁F=2．
（Ⅰ）求證：BB₁⊥底面ABC；
（Ⅱ）求棱錐A₁-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，則AO⊥平面BCC′B′，于是AO⊥BB′．又BB′⊥AC，從而得出BB′⊥底面ABC；
（2）V${\;}_{{A}_{1}-BEF}$=V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答 證明：（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)槿�角形ABC是等邊三角形，
所以AO⊥BC，
又因?yàn)槠矫鍮CC′B′⊥底面ABC，AO?平面ABC，平面BCC′B′∩平面ABC=BC，
所以AO⊥平面BCC′B′，
又BB′?平面BCC′B′，
所以AO⊥BB′．又BB′⊥AC，AO∩AC=A，AO?平面ABC，AC?平面ABC，
所以BB′⊥底面ABC．
（2）V${\;}_{{A}_{1}-BEF}$=V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．