Question

17．已知a、b∈R⁺，且a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥m，恒成立的實(shí)數(shù)m的最大值是4．

Answer 1

分析 由題意可得m≤$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值，運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值，進(jìn)而得到m的最大值．

解答 解：a、b∈R⁺，且a+b=1，
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=1+1+$\frac{a}$+$\frac{a}$
≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值4．
由$\frac{1}{a}+\frac{1}$≥m恒成立，可得m≤4．
則m的最大值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求最值，運(yùn)用基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．