Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1，A，B，C，D為橢圓上四個動點，且AC，BD相交于原點O，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）證明：$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow 0$；
（Ⅱ）求直線AB的斜率，并求出四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別連接AB，BC，CD，AD，推導出四邊形ABCD為平行四邊形，由此能證明$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=0．
（Ⅱ）由已知得4y₁y₂=x₁x₂，設直線AB的方程為y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x+8kmx+4（m²-1）=0，由韋達定理、根的判別式、點到直線的距離公式先求出△AOB的最大值，由此能求出四邊形ABCD面積最大值．

解答 證明：（Ⅰ）分別連接AB，BC，CD，AD，
因為AC，BD相交于原點O，根據(jù)橢圓的幾何對稱可知，AC，BD互相平分且原點O是它們的中點，
則四邊形ABCD為平行四邊形，
故$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=0．…（2分）
解：（Ⅱ）因為$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，所以4y₁y₂=x₁x₂．
由題可知直線AB的斜率一定存在，
設直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x+8kmx+4（m²-1）=0，
△＞0，x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，…（6分）
因為4y₁y₂=x₁x₂，又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+m}^{2}$，
所以$（4{k}^{2}-1）{x}_{1}{x}_{2}+4km（{x}_{1}+{x}_{2}）+4{m}^{2}=0$，
整理得$4{k}^{2}=1，k=±\frac{1}{2}$，…（8分）
不妨設${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2（{m}^{2}-1）}\end{array}\right.$，…（10分）
設原點到直線AB的距離為d，
則${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|$•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1，
當m²=1時，S_{四邊珙ABCD}=4S_△AOB≤4，
∴四邊形ABCD面積最大值為4．…（12分）

點評 本題考查兩向量和為0的證明，考查四邊形的面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、點到直線的距離公式的合理運用．