Question

1．向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，向量$\overrightarrow c$滿足$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）≤0$，則|$\overrightarrow c$|的最小值為$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 由已知求出兩向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角，進(jìn)一步設(shè)出$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），結(jié)合$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）≤0$，可得（x，y）表示以（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，以1為半徑的圓及圓內(nèi)部．畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：設(shè)$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=θ$，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴由題意可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則：$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$=（2-x，-y），$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$=（1-x，$\sqrt{3}$-y）．
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$=${x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y$≤0．
即$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}≤1$．
∴（x，y）表示以（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，以1為半徑的圓及圓內(nèi)部．
|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離，如圖所示：
連接圓心和原點(diǎn)O，與圓的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小．
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用向量坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．