Question

12．若曲線$C：y=cosx（{x∈（{0，\frac{π}{2}}]}）$上一點(diǎn)P（x₀，cosx₀）處的切線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)$OA+\frac{1}{OB}$取得最小值時(shí)，OB的值為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 求出切線方程，得到B的坐標(biāo)，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出OB的值即可．

解答 解：切點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，cosx₀），（x₀∈（0，$\frac{π}{2}$]），
則切線的斜率是-sinx₀，
故切線AB的方程是：y-cosx₀=-sinx₀（x-x₀），
故B（0，cosx₀+x₀sinx₀），A（$\frac{co{sx}_{0}}{si{nx}_{0}}$+x₀，0）
故|OB|=cosx₀+x₀sinx₀，OA=$\frac{co{sx}_{0}}{si{nx}_{0}}$+x₀，即$\frac{OB}{OA}$=sinx₀，
故OA+$\frac{1}{OB}$$≥\sqrt{OA•\frac{1}{OB}}$=2$\sqrt{\frac{1}{si{nx}_{0}}}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2$\sqrt{\frac{1}{si{nx}_{0}}}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=$\frac{π}{2}$時(shí)取“=”，
故OB=cos$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．