Question

2．若函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)2^x=t，則t²+at+a+1=0在（0，+∞）上有解，分離參數(shù)得-a=$\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$，利用不等式求出函數(shù)的最值即可得出a的范圍．

解答 解：設(shè)2^x=t，t²+at+a+1=0在（0，+∞）上有解，
分離參數(shù)得：-a=$\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$=t+1+$\frac{2}{t+1}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，
當(dāng)且僅當(dāng)t+1=$\frac{2}{t+1}$即t=$\sqrt{2}$-1時(shí)取等號(hào)，
∴a≤2-2$\sqrt{2}$，
故答案為：（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)最值的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．