Question

16．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績．乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機性，并在圖中以a表示． 
（Ⅰ）若甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=3時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)中乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績好的概率．
（Ⅲ）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相等列式求解a的值；
（Ⅱ）用枚舉法列出所有可能的成績結(jié)果，求出這兩名同學(xué)中乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績好，然后由古典概率模型概率計算公式求概率．
（Ⅲ）由（Ⅰ）中求得的結(jié)果可得，當(dāng)a=2，…，9時，乙組平均成績超過甲組平均成績，然后由古典概率模型概率計算公式求概率．

解答 解：（Ⅰ）由甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相等，得$\frac{1}{3}$（88+92+92）=$\frac{1}{3}$[90+91+（90+a）]，
解得a=1；
（Ⅱ）設(shè)“這兩名同學(xué)中乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績好”為事件B，
當(dāng)a=3時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機選取一名同學(xué)，所有可能的成績結(jié)果有3×3=9種，它們是：
（88，90），（88，91），（88，93），（92，90），（92，91），（92，93），（92，90），
（92，91），（92，93）．
∴事件B的結(jié)果有5種，它們是：（88，90），（88，91），（88，93），（92，93），（92，93）．
∴P（B）=$\frac{5}{9}$．
（Ⅲ）設(shè)“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10種可能．
由（Ⅰ）可知，當(dāng)a=1時甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，
∴當(dāng)a=2，…，9時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能．
∴乙組平均成績超過甲組平均成績的概率P（A）=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了莖葉圖，考查了等可能事件的概率及古典概型概率計算公式，是中檔題．