Question

【題目】已知，設實數、、、、、滿足

（i）、、且不全為0；

（ii）、、；

（iii）若，則.

若所有形如和的數均不為2014的倍數，則稱集合為“好集”.求好集所含元素個數的最大值.

Answer 1

【答案】503

【解析】

（1）構造一個503元好集.

設.

若、、均不為0，則

.

于是，為奇數，一定不為2014的倍數.

若、、中有0，不妨設，則由條件（i）知、中至少有一個不為0.

由條件（iii）知.

注意到，.

故一定不為2014的倍數.

顯然，為奇數，一定不為2014的倍數.

則為503元好集.

（2）設為好集.下面證明：.

設的最小元素為.則集合中任意兩元素的差不為.否則，設、，，得為2014的倍數，矛盾.

將中大于的元素從大到小每個分為一組，設可分成組，余下的個數為，，…，.

顯然，，組中的每一組至多有個數在集合中.

由好集的定義，知2014、，且與不同在集合中.

不妨設，否則，只需將集合中大于1007的元素換成.

事實上，若中有某個，則將其中的變?yōu)?/span>，將變?yōu)?/span>后得到的數與模2014相同.

下面對分情形討論.

1）若，則，，…，中至多有個數屬于集合.

故

.

2）若，則.

從而，任意一個好集必滿足.

由（1）、（2），知好集所含元素個數的最大值為503.