Question

6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐體積是1，四個面的面積中最大的是$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖畫出三棱錐P-ABC的直觀圖，并做出輔助線，由三視圖求出棱長、判斷出線面位置關(guān)系，由椎體的體積公式求出該三棱錐體積；由勾股定理求出其它棱長，判斷該三棱錐的四個面中最大的面，由三角形的面積公式求出答案．

解答 解：根據(jù)三視圖畫出三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示：
過A作AD⊥BC，垂足為D，連結(jié)PD，
由三視圖可知，PA⊥平面ABC，
且BD=AD=1，CD=PA=2，
①該三棱錐體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2$=1；
②BC=3，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理可求AC=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，PC=3，
∴△PBC是該三棱錐的四個面中最大的面積，
∴△PBC的面積S=$\frac{1}{2}•BC•PD$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：1；$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體的表面積以及體積，以及線面垂直的關(guān)系判斷、應(yīng)用，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．