Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+cos²x．
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x₀對(duì)稱(chēng)，且0＜x₀＜1，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二倍角和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)T=

2π

2

求得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）先根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x₀對(duì)稱(chēng)，可推斷出2x₀+

π

6

=kπ+

π

2

，進(jìn)而求得x₀的集合，進(jìn)而根據(jù)x₀的范圍求得x₀的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴y的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）∵f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=x₀對(duì)稱(chēng)，
∴2x₀+

π

6

=kπ+

π

2

，x₀=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
∵0＜x₀＜1，∴x₀=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和公式，二倍角公式的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)．