Question

10．（1）若$|\overrightarrow a|=2$，$|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為60°，求$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$．
（2）若tanθ=2，求$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{sinθ+cosθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以求出${\overrightarrow{a}}^{2}=4，{\overrightarrow}^{2}=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1$，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$的值，從而可得出$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的值；
（2）由tanθ=2，根據(jù)切化弦公式即可得到sinθ=2cosθ，而由二倍角的余弦公式可得到$2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1=cosθ$，從而原式=$\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$，代入sinθ=2cosθ便可求出原式的值．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=16-4+1=13；
∴$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{13}$；
（2）tanθ=2；
∴$\frac{sinθ}{cosθ}=2$；
∴sinθ=2cosθ；
∴$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}{sinθ+cosθ}=\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$
=$\frac{cosθ-2cosθ}{2cosθ+cosθ}$
=$-\frac{1}{3}$．

點評 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式，要求$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$而求$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$的方法，以及切化弦公式，二倍角的余弦公式．