Question

19．已知數(shù)列{log_ab_n}（a＞0且a≠1）是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a_n=b_nlgb_n，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{2}{3}$，1）
• B． （2，+∞）
• C． （$\frac{2}{3}$，1）∪（1，+∞）
• D． （0，$\frac{2}{3}$）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由題意求出$_{n}={a}^{n+1}$，得到a_n=b_nlgb_n=aⁿ⁺¹•lgaⁿ⁺¹=（n+1）aⁿ⁺¹lga，再由數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，可得nlga＜（n+1）alga（n≥2）．然后轉化為關于a的不等式組結合恒成立問題求得答案．

解答 解：∵數(shù)列{log_ab_n}（a＞0且a≠1）是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴l(xiāng)og_ab_n=2+1×（n-1）=n+1，
∴$_{n}={a}^{n+1}$，
由a_n=b_nlgb_n=aⁿ⁺¹•lgaⁿ⁺¹=（n+1）aⁿ⁺¹lga為遞增數(shù)列，
且${a}_{n-1}=（n-1+1）{a}^{n-1+1}lga=n{a}^{n}lga$（n≥2），
可得naⁿlga＜（n+1）aⁿ⁺¹lga（n≥2）．
由a＞0且a≠1，得nlga＜（n+1）alga（n≥2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{lga＜0}\\{（n+1）a-n＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{lga＞0}\\{（n+1）a-n＞0}\end{array}\right.$②．
由①得，0$＜a＜\frac{2}{3}$；
由②得，a＞1．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$）∪（1，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查數(shù)學轉化思想方法，屬中檔題．