精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
定義在(0,+∞)的函數f(x),對于任意的a,b∈(0,+∞),都有f(ab)=f(a)+f(b)成立,當x>1時,f(x)<0.
(1)求證:1是函數f(x)的零點;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調性,并證明;
(3)若f(
1
4
)=
1
2
,解不等式f(mx+
1
16
)>1
(m>0).
分析:(1)此問可以采用分析法分析,要證結論成立只需證f(1)=0,結合條件:任意的a,b∈(0,+∞),都有f(ab)=f(a)+f(b)成立,中的任意性只要對 a、b取特值即可解決此問題;
(2)根據函數單調性的定義,首先應在給定區(qū)間上任設兩數并限定大小,在充分利用條件:當x>1時,f(x)<0即可獲得兩數對應函數值之間的大小,從而問題即可獲得解答;
(3)首先結合所給不等式進行轉化,轉化為左右兩邊都為抽象表達形式的不等式,再結合所證明的單調性即可獲得問題的解答.
解答:證明:(1)令a=b=1,
則f(1×1)=f(1)+f(1)=f(1),
∴f(1)=0
∴1是函數f(x)的零點.
(2)令a=x,b=
1
x
,
則f(1)=f(x•
1
x
)=f(x)+f(
1
x
)=0,
∴f(
1
x
)=-f(x),
任意x1、x2∈(0,+∞),且x2>x1>0,
x2
x1
>1
,
f(
x2
x1
) =f(x2) +f(
1
x1
) =f(x2) -f(x1)<0
,
∴f(x2)<f(x1
∴函數f(x)在(0,+∞)上是單調遞減函數.
(3)∵f(
1
16
) =f(
1
4
) +f(
1
4
) =
1
2
+
1
2
=1
,
∴不等式f(mx+
1
16
)>1
.即為:f(mx+
1
16
)>f(
1
16
)

又因為函數f(x)在(0,+∞)上是單調遞減函數,
0<mx+
1
16
1
16
,又∵m>0,
解得:-
1
16m
<x<0

故不等式的解集為:x|-
1
16m
<x<0}
點評:本題考查抽象函數及其應用.解決此類問題的關鍵是利用好條件中的函數性質等式.判斷抽象函數的單調性通常應用定義法.值得同學們體會和反思.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•安徽)設定義在(0,+∞)上的函數f(x)=ax+
1
ax
+b(a>0)
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=
3
2
x
,求a,b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數,且滿足f(xy)=f(x)+f(y),且f(
13
)=1.
(1)求f(1)與f(3);  
(2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)是定義在(0,+∞)上的單調遞增函數,對于任意的m、n(m、n∈(0,+∞))滿足f(m)+f(n)=f(mn),且a、b(0<a<b)滿足|f(a)|=|f(b)|=2|f(
a+b
2
)|

(1)求f(1);
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)<2;
(3)求證:3<b<2+
2

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

定義在(0,+∞)上的可導函數f(x)滿足f′(x)?x<f(x),且f(2)=0,則
f(x)
x
>0的解集為(  )
A、(0,2)
B、(0,2)∪(2,+∞)
C、(2,+∞)
D、?

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個函數f(x)和g(x),其中f(x)=x2-2ax+4(a≥1),g(x)=
2xx+1

(1)求函數y=f(x)的最小值m(a)及g(x)的值域;
(2)若對任意x1、x2∈[0,2],f(x2)>g(x1)恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案